Question

设A，B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上．已知△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为    ．

Answer

由题意，可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列把三个边长都用a，c表示出来，再结合余弦定理即可得到结论．
【解析】
由题，不妨令点C在右支上，则有
AC=2a+x，BC=x，AB=2c；
∵△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，
∴x+2c=2（2a+x）⇒x=2c-4a；
AC=2a+x=2c-2a；
∵AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos∠ACB；
∴（2c）2=（2c-4a）2+（2c-2a）2-2（2c-4a）（2c-2a）（-）；
∴2c2-9ac+7a2=0⇒2e2-9e+7=0；
∴e=，e=1（舍）．
故答案为：．