Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）设AB=2，若H为线段PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为，求AP的长度．

Answer

（1）首先判断四边形ABCD形状，推出△ABC为正三角形，BC边上的中线AE也是高线，联系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（2）利用AE与PD、PA都垂直，可得到AE⊥平面PAD，从而AE⊥平面AHE，然后求出AE，通过EH与平面PAD所成的最大角的正切值为．求出AH，最后转到Rt△PAD中求得PA=2．
【解析】
（1）AE⊥PD---------------------------------------（1分）
因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
因为E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD-------------------（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE---------（3分）
PA∩AD=A，且PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD
∴AE⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD-----------------------------（5分）
∴AE⊥PD-------------------------------------------------（6分）
（2）由（1），EA⊥平面PAD，
∴EA⊥AH，即△AEH为直角三角形，----------（8分）
Rt△EAH中，，
当AH最短时，即AH⊥PD时，EH与平面PAD所成的角最大，最大角的正切值为，-----------（10分）
此时，tan∠EHA==，AH=．
又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．------------------（12分）