Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，离心率为，点P为第一象限内横坐标为1的椭圆C上的点，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆C于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△PAB面积的最大值．

Answer

（1）由椭圆C的中心在原点，一个焦点为，离心率为，知c=，e==，由此能求出椭圆方程．
（2）由P点坐标为（1，），设PA的斜率为k，那么PB的斜率为-k．其方程分别为：y=k（x-1）+，y=-k（x-1）+，求出直线AB的斜率为．由椭圆方程为．设A点坐标为（cosa，2sina），直线AB方程为y-2sina=（x-2cosa），则P到AB的距离PD为=|sina-cosa|，AB的距离为|x1-x2|=，由此能求出△PAB面积最大值．
【解析】
（1）∵椭圆C的中心在原点，一个焦点为，离心率为，
∴c=，e==，
∵a2=b2+（）2，
解得a2=4，b2=2，
∴椭圆方程为．
（2）由已知，P点坐标为（1，），若PA的斜率为k，那么PB的斜率为-k．其方程分别为：
y=k（x-1）+，y=-k（x-1）+，
分别代入椭圆方程，得：
（k2+2）x2-（2k2-2k）x+（k2-2k-2）=0，
（k2+2）x2-（2k2+2k）x+（k2+2k-2）=0，
由于x=1是以上两个方程的解，所以将这两个方程分解因式得
（x-1）[（k2+2）x-（k2-2k-2）]=0
（x-1）[（k2+2）x-（k2+2k-2）]=0
所以x1=（k2-2k-2），x2=（k2+2k-2），
所以直线AB的斜率为：
=[-k（x2-1）+-k（x1-1）-]
=[2-（x1+x2）]k
=
=．
∵椭圆方程为．
∴设A点坐标为（cosa，2sina），直线AB方程为y-2sina=（x-cosa），
P到AB的距离PD为=|sina-cosa|，
AB的距离为|x1-x2|=，
把方程y-2sina=（x-cosa），代入椭圆方程，得
x2+（sina-cosa）x-2sinacosa=0，
x1=cosa，x2=-sina，
于是△PAB的面积=
=|sina-cosa|
=|sina2-cosa2|，
所以△PAB面积最大值为．