Question

某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y-1条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条（x＞1）．
（1）设第k次播放后余下a_k条，这里a=y，a_x=0，求a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y．

Answer

（1）依题意，第k次播放了k+（ak-1-k）=ak-1+k，由此能够推导出ak与ak-1的递推关系式．
（2）由a=1+a1=1+2×+3×（）2++x×（）x-1+（）xax推导出y=1+2×+3×（）2++x×（）x-1，用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×．由此可得到这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．
【解析】
（1）依题意，第k次播放了
k+（ak-1-k）=ak-1+k，
∴ak=ak-1-（ak-1+k）．
∴ak-1=k+ak，
即ak与ak-1的递推关系式为ak-1=k+ak．
（2）∵a=1+a1
=1+（2+a2）
=1+2×+（）2a2
=1+2×+3×（）2+（）3a3
=1+2×+3×（）2++x×（）x-1+（）xax．
∵ax=0，
∴y=1+2×+3×（）2++x×（）x-1．
用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×．∴
故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．