Question

若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：
①X∈M、∅∈M；
②对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，有A∪B∈M；
③对于X的任意子集A、B，当A∈M且B∈M时，有A∩B∈M；
则称M是集合X的一个“M-集合类”．
例如：M={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一个“M-集合类”．已知集合X={a，b，c}，则所有含{b，c}的“M-集合类”的个数为（ ）
A．8
B．9
C．6
D．10

Answer

根据新定义以集合为元素组成集合，由②③可知M-集合类集合至少含有两个元素，利用元素的个数进行书写，然后根据性质①②③进行验证，从而求解．
解依题意知，M中至少含有这几个元素：空集，{b，c}，{a，b，c}，将它看成一个整体；
剩余的{a}{b}{c}{a，c}{a，b}5个，{a，b}和{b}必须同时在M中，{a，c}和{c}必须必须同时在M中；
进行排列有：只有一个元素的情形有：a； b； c；3种
有二个元素的情形有：b，c； c，ac； b，ab；3种
有三种元素的情形有：a，b，ab； a，c，ac； b，ab，c； c，ac，b；4种
有五种元素的情形有：a，b，c，ab，ac；1种
还有M本身也符合要求，故有3+3+4+1+1=12种．
故答案为：12．（选项有误！）