Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d有两个极值点x₁=1，x₂=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．
（1）求b和c        
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程．

Answer

（1）由题意可得：f′（x）=3x2+2bx+c，所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，进而得到a与b的关系式解决问题．
（2）设切点为（x，y），根据题意可得f′（x）=6，即x=3或者x=0，即可解出切点的坐标求出函数y=f（x）的解析式．
（3）由题意可得：设切点的坐标为（x1，y1），
所以==…①．所以K切=3x12-9x1+6…②，所以切点为（，），所以，所以切线方程为15x-16y+16=0．
【解析】
（1）由题意可得：函数f（x）=x3+bx2+cx+d的导数为：f′（x）=3x2+2bx+c，
因为函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，
所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2，
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，
解得：b=-，c=6．
（2）设切点为（x，y），
由（1）可得：f′（x）=3x2-9x+6，
因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，
所以f′（x）=6，即x=3或者x=0，
当x=3时，y=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3x2+6x+．
当x=0时，y=1，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3x2+6x+1．
（3）由题意可得：f（x）=x3x2+6x+1，并且P（0，1），
设切点的坐标为（x1，y1），
所以==…①．
又因为f′（x）=3x2-9x+6，
所以K切=3x12-9x1+6…②，
由①②可得：，
所以切点为（，），所以，
所以切线方程为15x-16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0．