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已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y...

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.
(1)求b和c        
(2)求函数y=f(x)的解析式;
(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.
(1)由题意可得:f′(x)=3x2+2bx+c,所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2,进而得到a与b的关系式解决问题. (2)设切点为(x,y),根据题意可得f′(x)=6,即x=3或者x=0,即可解出切点的坐标求出函数y=f(x)的解析式. (3)由题意可得:设切点的坐标为(x1,y1), 所以==…①.所以K切=3x12-9x1+6…②,所以切点为(,),所以,所以切线方程为15x-16y+16=0. 【解析】 (1)由题意可得:函数f(x)=x3+bx2+cx+d的导数为:f′(x)=3x2+2bx+c, 因为函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2, 所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2, 所以2b+c+3=0,并且4b+c+12=0, 解得:b=-,c=6. (2)设切点为(x,y), 由(1)可得:f′(x)=3x2-9x+6, 因为直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点, 所以f′(x)=6,即x=3或者x=0, 当x=3时,y=19,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+. 当x=0时,y=1,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+1. (3)由题意可得:f(x)=x3x2+6x+1,并且P(0,1), 设切点的坐标为(x1,y1), 所以==…①. 又因为f′(x)=3x2-9x+6, 所以K切=3x12-9x1+6…②, 由①②可得:, 所以切点为(,),所以, 所以切线方程为15x-16y+16=0. 所以过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程为15x-16y+16=0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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