Question

现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x （cm），高为y （cm），体积为V （cm³）
（1）求出x 与 y 的关系式；
（2）求该铁皮盒体积V的最大值．

Answer

（1）根据一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，可得得x2+4xy=4800，进而可确定x 与 y 的关系式；
（2）铁皮盒体积，求导函数，确定函数的极值，极大值，也是最大值．
【解析】
（1）由题意得x2+4xy=4800，
即，0＜x＜60．  （6分）
（2）铁皮盒体积，（10分）
，令V′（x）=0，得x=40，（12分）
因为x∈（0，40），V′（x）＞0，V（x）是增函数；x∈（40，60），V'（x）＜0，V（x）是减函数，
所以，在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm3．
答：该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3．         （14分）