Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与时，都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若，求f（x）的单调区间和极值；
（3）若对x∈[-1，2]都有恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）求出f′（x）并令其等于0得到方程，把x=1，x=-代入求出a、b即可；
（2）利用函数与导函数，建立表格，根据导数的正负，确定函数的单调性，从而确定函数的极值；
（3）求出函数的最大值为f（2），要使对x∈[-1，2]都有恒成立，利用函数的最大值，建立不等式，从而可求出c的取值范围．
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=3x2+2a x+b．
由题设，∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与时，都取得极值．
∴x=1，x=-为f′（x）=0的解．
∴-a=1-，=1×（-）．
解得a=-，b=-2（4分）
此时，f′（x）=3x2-x-2=（x-1）（x+），x=1与都是极值点．（5分）
（2）f （x）=x3-x2-2 x+c，由f （-1）=-1-+2+c=，∴c=1．
∴f （x）=x3-x2-2 x+1．

x （-∞，-） （-，1） （1，+∞）
f′（x） + - +

∴f （x）的递增区间为（-∞，-），及（1，+∞），递减区间为（-，1）．
当x=-时，f （x）有极大值，f （-）=；
当x=1时，f （x）有极小值，f （1）=-（10分）
（3）由（1）得，f′（x）=（x-1）（3x+2），f （x）=x3-x2-2 x+c，
f （x）在[-1，-）及（1，2]上递增，在（-，1）递减．
而f （-）=--++c=c+，f （2）=8-2-4+c=c+2．
∴f （x）在[-1，2]上的最大值为c+2．
∴
∴
∴或
∴0＜c＜1或c＜-3（16分）