Question

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

Answer

（I）由{an}为递增的等比数列，得到数列{an}的公比q＞0，且a1＞0，又{a1，a3，a5}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，可得出a1，a3，a5三项，则公比可求，通项可求．
（II）先假设存在等差数列{bn}，由所给式子求出b1，b2，公差可求，通项可求，证明当bn=n时，a1bn+a2bn-1++an-1b2+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立，用错位相减法求得此数列是适合的．
【解析】
（I）因为{an}是递增的等比数列，所以数列{an}公比q＞0，首项a1＞0，
又{a1，a3，a5}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，
所以a1=1，a3=4，as=16（3分）
从而，q=2，an=a1qn-1=2n-1
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1（6分）
（II）假设存在满足条件的等整数列{bn}，其公差为d，则当n=1时，a1b1=1，
又∵a1=1，∴b1=1；
当n=2时，a1b2+a2b1=4，b2+2b1=4，b2=2
则d=b2-b1=1，∴bn=b1+（n-1）d=1+（n-1）×1=n（8分）
以下证明当bn=n时，a1bn+a2bn-1++an-1b2+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立．
设Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1，
即Sn=1×n+2×（n-1）+22×（n-2）+23×（n-3）+…+2n-2×2+2n-1×1，（1）
2Sn=2×n+22×（n-1）+23×（n-2）+…+2n-1×2+2n×1，（2）
（2）-（1）得Sn=-n+2+22+23++2n-1+2n=，
所以存在等差数列{bn}，bn=n使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N*都成立（12分）