Question

已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x是偶函数．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）若a＞0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值．

Answer

（Ⅰ）利用条件的到两个关于m、n的方程，求出m、n的值即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，再找函数y=f（x）的导函数大于0和小于0对应的区间，最后分情况讨论区间（a-1，a+1）和单调区间的位置关系再得结论．
【解析】
（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（-1，-6），得m-n=-3，①…（1分）
由f（x）=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n，…（2分）
则g（x）=f′（x）+6x=3x2+（6+2m）x+n；
而g（x）图象关于y轴对称，所以-=0，所以m=-3，
代入①得n=0．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．…（5分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，0） （0，2） 2 …（8分）
（2，+∞）
f′（x） + -
f（x） 极大值 极小值

由此可得：
当0＜a＜1时，f（x）在（a-1，a+1）内有极大值f（0）=-2，无极小值；
当a=1时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值；
当1＜a＜3时，f（x）在（a-1，a+1）内有极小值f（2）=-6，无极大值；
当a≥3时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值．…（11分）
综上得：当0＜a＜1时，f（x）有极大值-2，无极小值，当1＜a＜3时，有极小值-6，无极大值，当a=1或a≥3时，f（x）无极值．…（12分）