Question

已知函数f（x）=-x²+2ex+m-1，g（x）=x+ （x＞0）．
（1）若g（x）=m有实根，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根．

Answer

（1）方法一：g（x）=x+≥2e2=2e，等号成立的条件是x=e．故g（x）的值域是[2e，+∞），由此能求出m的取值范围．
方法二：作出g（x）=x+e2x的图象如图：观察图象，能求出m的取值范围．
方法三：解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0．此方程有大于零的根，故，由此能求出m的取值范围．
（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中，函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作出g（x）=x+（x＞0）的图象，由f（x）=-x2+2ex+m-1，知最大值为m-1+e2，故当m＞-e2+2e+1时，g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点．
【解析】
（1）方法一：∵g（x）=x+≥2e2=2e，等号成立的条件是x=e．
故g（x）的值域是[2e，+∞），
因而只需m≥2e，则g（x）=m就有实根．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
方法二：作出g（x）=x+e2x的图象如图：
观察图象，知：
若使g（x）=m有实根，则只需m≥2e．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
方法三：解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0．
此方程有大于零的根，
故，
等价于，故m≥2e．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
（2）若g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，
即g（x）=f（x）中，函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，
作出g（x）=x+（x＞0）的图象，
∵f（x）=-x2+2ex+m-1
=-（x-e）2+m-1+e2，
其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e2，
故当m-1+e2＞2e，
即m＞-e2+2e+1时，
g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，
即g（x）-f（x）=0有两个相异的实根，
∴m的取值范围是：（-e2+2e+1，+∞）．