Question

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）先将函数f（x）展开，然后对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求x的值，再由函数的单调性进行验证从而最终确定答案．
（2）根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间．
【解析】
（1）∵f（x）=ax（x-2）2=ax3-4ax2+4ax，
∴f′（x）=3ax2-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax2-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x2-8x+4=0．
解得x=2或x=．
∵a＞0，∴x＜或x＞2时，f′（x）＞0；＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴当x=时，f（x）有极大值32，即a-a+a=32，∴a=27．
（2）∵x＜或x＞2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增
当＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）单调递减
f（x）在（-∞，）和（2，+∞）上是增函数，在（，2）上是减函数．