Question

已知函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g（x）=ln（f（x）+a）（a为常数），g（x）是实数集R上的奇函数．
（1）求证：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）讨论关于x的方程：lng（x）=g（x）•（x²-2ex+m）（m∈R）的根的个数；
（3）设n∈N^*，证明：（e为自然对数的底数）．

Answer

（1）构造新函数h（x）=ex-x-1证明其其函数值非负即可证得f（x）≥x+1（x∈R），由本题解析式的形式知，此函数的单调性应用导数来求解，然后用单调性判断h（x）的最小值的符合；
（2）由g（x）是实数集R上的奇函数可得g（0）=0，由此可以求得a的值，故g（x）可求得为g（x）=x，至此问题明确为讨论方程lnx=x•（x2-2ex+m）在x＞0的根的个数，即在x＞0的根的个数．（m∈R）在将根的个数的问题转化为两个函数的交点的个数问题求解．
（3）由（1）知1+x≤ex（x∈R），令，将问题转化即的问题，利用1+x≤ex（x∈R），转化后用放缩法证明即可．
解（1）证：令h（x）=ex-x-1，h'（x）=ex-1，
令h'（x）＞0⇒ex-1＞0⇒x＞0时f'（x）＞0；x＜0时，f'（x）＜0．∴f（x）min=f（0）=0
∴h（x）≥h（0）=0即ex≥x+1．

（2）∵g（x）是R上的奇函数
∴g（0）=0∴g（0）=ln（e+a）=0
∴ln（1+a）=0∴a=0故g（x）=lnex=x．
故讨论方程lnx=x•（x2-2ex+m）在x＞0的根的个数．
即在x＞0的根的个数．（m∈R）
令．
注意x＞0，方程根的个数即交点个数．
对，，
令u'（x）=0，得x=e，
当x＞e时，u'（x）＜0；当0＜x＜e时，u'（x）＞0．
∴，
当x→0+时，；
当x→+∞时，，但此时u（x）＞0，此时以x轴为渐近线．
①当即时，方程无根；
②当即时，方程只有一个根．
③当即时，方程有两个根．

（3）由（1）知1+x≤ex（x∈R），
令，
∴，于是，
∴．