Question

已知椭圆，长轴长是，离心率是．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂的直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点C，使为常数？若存在，求出定点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据长轴长是，离心率是，可确定几何量，从而可求椭圆的方程；
（2）分类讨论：当AB不与x轴垂直时，设过点F2的直线AB方程与椭圆方程联立，可得=，要使为常数，则，从而可得m=，；当AB与x轴垂直时，同样可得在x轴上存在定点C，使为常数．
【解析】
（1）∵长轴长是，离心率是．
∴
∴c=1，∴b=1
∴椭圆的方程为；
（2）当AB不与x轴垂直时，设过点F2的直线AB方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，0）
由，消去y得：（2k2+1）x2-4k2+2k2-2=0
∴
∴==
要使为常数，则，∴m=．此时
当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标分别是，
∴=-
综上知，在x轴上存在定点C，使为常数．