Question

已知向量，，其中A、B是△ABC的内角，⊥，
（Ⅰ）求tanAtanB的值；
（Ⅱ）求tanC的最大值．

Answer

（I）根据数量积的坐标运算公式，将•展开，并用三角函数的降幂公式、和与差的余弦公式化简得：•=sinAsinB-cosAcosB，再由⊥，得到sinAsinB-cosAcosB=0，最后可用同角三角函数的商数关系，得到tanAtanB=；
（II）根据三角形的内角和等于π，结合三角和的正切公式，可得tanC=-tan（A+B）=-（tanA+tanB），再经过讨论可得tanA、tanB都是正数，所以tanA+tanB≥2=，从而得到当且仅当tanA=tanB=时，tanC的最大值为-．
【解析】
（I）根据数量积的坐标运算公式，得
•=sin2+（cos2-）=[1-cos（A+B）]+[1+cos（A-B）]-
=cos（A-B）-cos（A+B）=（cosAcosB+sinAsinB）-（cosAcosB-sinAsinB）
=sinAsinB-cosAcosB
∵⊥，
∴•=0，即sinAsinB-cosAcosB=0，可得sinAsinB=cosAcosB
∴tanAtanB==
（II）∵A、B是△ABC的内角，
∴π-C=A+B，可得tanC=-tan（A+B）==-（tanA+tanB）
∵A、B是三角形的内角，且tanAtanB=＞0
∴A、B都是锐角，tanA、tanB都是正数
因此tanA+tanB≥2=
∴-（tanA+tanB）≤-×=-，即tanC≤-，
当且仅当tanA=tanB=时，tanC的最大值为-．