Question

已知定义在闭区间[-3，3]上的两个函数：g（x）=2x³+5x²+4x，f（x）在[-3，3]的值域为[-k-8，-k+120]，若对于任意x₁∈[-3，3]，总存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x₁）成立，求k的取值范围是    ．

Answer

由g（x）=2x3+5x2+4x，知g′（x）=6x2+10x+4，令g′（x）=6x2+10x+4=0，得x=-1或x=-，列表讨论得g（x）在闭区间[-3，3]上的值域为[-21，111]．由f（x）在[-3，3]的值域为[-k-8，-k+120]，若对于任意x1∈[-3，3]，总存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x1）成立，知，由此能求出k的取值范围．
【解析】
∵g（x）=2x3+5x2+4x，
∴g′（x）=6x2+10x+4，
令g′（x）=6x2+10x+4=0，得x=-1或x=-，
列表讨论：

 x -3 （-3，-1） -1  （-1，-） -  （-，3）  3
 f′（x） + +  0 -  0 + +
 f（x） ↑ ↑  极大值 ↓  极小值 ↑ ↑

∵g（-3）=2×（-27）+5×9+4×（-3）=-21，
g（-1）=2×（-1）+5×1+4×（-1）=-1，
g（-）=2×（-）+5×+4×=-，
g（3）=2×27+5×9+4×3=111．
∴g（x）在闭区间[-3，3]上的值域为[-21，111]．
∵f（x）在[-3，3]的值域为[-k-8，-k+120]，
若对于任意x1∈[-3，3]，总存在x∈[-3，3]使得g（x）=f（x1）成立，
∴，
解得9≤k≤13．
故答案为：[9，13]．