Question

一个多面体的直观图（正视图、侧视图，俯视图）如图所示，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（2）求证：MN⊥平面A₁BC；
（3）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer

（1）先根据题中的三视图得到AC⊥BC，AC=BC=CC1，然后连接AC1和AB1，再由直三棱柱的性质得到四边形ABB1A1为矩形，再由中位线定理可得到MN∥AC1，最后根据线面平行的判定定理可证明MN∥平面ACC1A1．
（2）先根据线面垂直的性质定理可得到BC⊥AC1，再根据A1C⊥AC1，根据线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面A1BC，最后根据MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC，从而得证．
（3）先过点C作CD⊥AB与D．再过点D作DE⊥A1B，可得∠CED即为所求二面角的平面角，然后通过求边长求出角的度数即可．
【解析】
由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1；
（1）连接AC1，AB1，由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1；
所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形，
由矩形的性质得AB1过A1B的中点M．
在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，
又AC1⊂ACC1A1，MN⊈ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1．
（2）因为BC⊥平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥AC1，
在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1，
又BC∩A1C=C，
所以AC1⊥平面A1BC，
由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC．
（3）过点C作CD⊥AB与D．再过点D作DE⊥A1B，
连接CE，
∵AC=BC；
∴CD⊥AB由其为直棱柱⇒CD⊥平面ABB1A1；
则∠CED即为所求二面角的平面角．
又CD=AB=a，tan∠ABA1==⇒=⇒DE=a，
∴tan∠CED==，即∠CED=60°，
故二面角A-A1B-为60°．