Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a＞0），设h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的单调区间；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的图象上存在一点P（x，y），使得以P（x，y）为切点的切线的斜率成立，求实数a的最大值．

Answer

（1）由于h′（x）=，由h′（x）＞0，可求其单调增区间，h′（x）＜0可求其单调减区间；
（2）依题意，以P（x，y）为切点的切线的斜率h′（x）=k=≥成立⇔a≤（x∈（0，3]），求得即可．
【解析】
（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞）．
h′（x）=-=，令h′（x）==0，则x=a
于是，当x＞a时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
当x＜a时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
∴h（x）的单调增区间为（a，+∞），h（x）的单调减区间是（0，a）．
（2）∵h′（x）==k，
∴在区间（0，3]上存在一点P（x，y），使得以P（x，y）为切点的切线的斜率h′（x）=k=≥成立，
即a≤-+x，等价于a≤（x∈（0，3]）．
∵-+x=-+，
∴=．
于是a≤，即a的最大值为．