(Ⅰ)由an+1=2an2+2an,an>0,知2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2,所以{2an+1}是“平方递推数列”.由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),且2an+1>1,知lg(1+2an)>0,由此能够证明{lg(2an+1)}为等比数列.
(Ⅱ)由lg(2a1+1)=lg5,知lg(2an+1)=lg5•2n-1,所以,由lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)=,能求出Tn.
(Ⅲ)由,知==由此能求出n的最小值.
证明:(Ⅰ)由条件得:an+1=2an2+2an,an>0.
∴2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2,
∴{2an+1}是“平方递推数列”.
由lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),
且2an+1>1,
∴lg(1+2an)>0,
∴,
∴{lg(2an+1)}为等比数列.…(3分)
【解析】
(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,
∴lg(2an+1)=lg5•2n-1,
∴
∴…(5分)
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1),
=,
∴…(7分)
(Ⅲ),
∴
=
=.…(10分)
由Sn>2008,得2n-2+2>2008,n+()n>1005,
当n≤1004时,n+()n<1005,当n≥1005时,n+()n>1005,
∴n的最小值为1005.…(13分)