Question

关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的命题：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．.①②③
C．.②③
D．.①③

Answer

①由于ex＞0，所以f（x）＞0由2x-x2＞0求得，进行判定正误．
②③对f（x）求导，利用单调性与导数关系，得出f（x）的单调性，从而得出极值、最值情况，判断正误．．
【解析】
①由于ex＞0，所以f（x）＞0即须2x-x2＞0解得{x|0＜x＜2}；①正确．
②∵f（x）=（x2-2x）ex的定义域是R，
f′（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex，
∴令f′（x）=0，得x=-，x=．
列表：

x （-∞，- - （-，） （，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑

所以f（-）是极小值，f（）是极大值；②正确．
f（x）既无最大值，也无最小值．③错误．
故选A．