Question

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=    ．

Answer

作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得xA+xB和xAxB的表达式，进而可求得xAxB=-（）2，整理后两边同除以xB2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．
【解析】
如图，作AA1⊥x轴，
BB1⊥x轴．
则AA1∥OF∥BB1，
∴==，
又已知xA＜0，xB＞0，
∴=-，
∵直线AB方程为y=xtan30°+
即y=x+，
与x2=2py联立得x2-px-p2=0
∴xA+xB=p，xA•xB=-p2，
∴xAxB=-p2=-（）2
=-（xA2+xB2+2xAxB）
∴3xA2+3xB2+10xAxB=0
两边同除以xB2（xB2≠0）得
3（）2+10+3=0
∴=-3或-．
又∵xA+xB=p＞0，
∴xA＞-xB，
∴＞-1，
∴=-=-（-）=．
故答案为：