Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

Answer

（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，连PF，设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，则N点到AB的距离即为AP，N点到AP的距离即为AF．
【解析】
（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE∥PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．
在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴cosEOA==．
即AC与PB所成角的余弦值为．
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则∠ADF=．
连PF，则在Rt△ADF中DF==，AF=ADtanADF=．
设N为PF的中点，连NE，则NE∥DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．从而NE⊥面PAC．
∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=．