Question

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点（，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l分别切椭圆C与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

Answer

（I）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过点（，1）求出待定系数，即得椭圆的方程．
（II）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
【解析】
（I）设椭圆的方程为，则 ，a，
∴，
∵椭圆过点，∴，解得 a2=25，b2=9，
故椭圆C的方程为 （4分）

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）2-4（25k2+9）x25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=，②
由．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-R2=0，
由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=，④
由②④得：x2-x1=，由①③得：k2=，（9分）
∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2
==

即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2（12分）