Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形．
（1）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-P的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．

Answer

此题可利用空间向量做：根据题中条件可取AB中点E，取CD中点F，连接EF易证PE，BE，EF两两相互垂直故建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz
（1）求出和平面ABCD的一个法向量然后利用向量的夹角公式求出cos＜，＞然后根据若cos＜，＞＞0，则PC与平面ABCD所成角为-＜，＞；若cos＜，＞＜0则PC与平面ABCD所成角为＜，＞-然后再结合诱导公式进而可求出PC与平面ABCD所成角的正弦值．
（2）求出平面APC的一个法向量，平面ABC的一个法向量然后利用向量的夹角公式求出cos＜，＞而点P在面ABC上的投影点E在面ABC的内部故二面角B-AC-P的平面角为π-＜，＞（若cos＜，＞＞0）或＜，＞（若cos＜，＞＜0）然后再结合诱导公式进而可求出二面角B-AC-P的余弦值．
（3）求出平面PCD的一个法向量，然后利用d=即可求点A到平面PCD的距离．
【解析】
（1）取AB中点E，则PE⊥AB
∵平面PAB⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
取CD中点F，连接EF
如图，建立空间直角坐标系E-xyz，则P（0，0，），C（1，2，0）
∴
平面ABCD的一个法向量
∴cos＜，＞==
∴PC与平面ABCD所成角的正弦值为
（2）A（-1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，）
∴，
平面APC的一个法向量
平面ABC的一个法向量
∴cos＜，＞==
∴二面角B-AC-P的余弦值为
（3）P（0，0，），C（1，2，0），D（-1，2，0）
∴，
∴平面PCD的一个法向量=（0，，2），
∴d==
∴点A到平面PCD的距离为