Question

已知y=f（x）是定义在R上奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+ax，且f（2）=4，
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）的表达式；
（3）解不等式f（x²+3）+f（-2x）≥0．

Answer

（1）因为f（x）是定义在R上奇函数，所以f（-2）=f（2）=4，代入表达式，并解之得a=4；
（2）当x＜0时，f（x）=x2+4x，当x＞0时，有f（-x）=-x2+4x，而f（0）=0，最后综合可得f（x）的表达式；
（3）原不等式f（x2+3）+f（-2x）≥0等价于f（x2+3）≥f（2x），而x2+3≥3＞0，所以f（x2+3）=-（x2+3）2+4（x2+3）=-x4-2x2+3．接下来分x≤0和x＞0两种情况加以讨论，分别解关于x的不等式，最后综合可得原不等式的解集．
【解析】
（1）∵y=f（x）是定义在R上奇函数且f（2）=4
∴f（-2）=-f（2）=-4，代入表达式得 4-2a=-4，
∴a=4  （4分）
（2）由已知条件，当x＜0时，f（x）=x2+4x
设x＞0，则-x＜0，f（-x）=（-x）2+4（-x）=x2-4x
于是f（x）=-f（-x）=-x2+4x
又∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0
综上所述，f（x）=（8分）
（3）因为函数f（x）为奇函数，所以不等式f（x2+3）+f（-2x）≥0等价于f（x2+3）≥f（2x）
∵x2+3≥3＞0，
∴f（x2+3）=-（x2+3）2+4（x2+3）=-x4-2x2+3．
①当2x≤0时，即x≤0时，f（2x）=（2x）2+4（2x）=4x2+8x
原不等式可化为：-x4-2x2+3≥4x2+8x，即x4+6x2+8x-3≤0，解之得2-≤x≤0
②当2x＞0时，即x＞0时，f（2x）=-（2x）2+4（2x）=-4x2+8x
原不等式可化为：-x4-2x2+3≥-4x2+8x，x4-2x2+8x-3≤0，解之得0＜x＜-1
综上所述，原不等式的解集为[2-，-1]（12分）