Question

已知函数f（x）=x²-3ax+1，．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）求函数f（x）在[a，+∞）上的最小值；
（3）若对于任意的x₁∈[a，+∞），都存在x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer

（1）要求函数f（x）的值域，只要求t=x2+2x+3最小值，进而可求函数的值域；
（2）先配方得到函数的对称轴，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，+∞）的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值；
（3）对于任意x1∈[a，+∞），总存在x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立转化为f（x）在[a，+∞）上的最小值大于或等于g（x）在R上的最小值，列出不等式求出a的范围．
【解析】
（1）设t=x2+2x+3，则g（x）=log4t
∵t=（x+1）2+2≥2，即t∈[2，+∞），
函数g（x）的值域为[，+∞）；
（2）∵f（x）=（x-）2+1-a2，
当a≥0时，∈[a，+∞），
这时，ymin=f（）=1-a2；
当a＜0时，f（x）在[a，+∞）上是增函数，这时，f（x）在[a，+∞）上的最小值为：
f（a）=1-2a2
综上，函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为：
当a≥0时，1-a2
当a＜0时，1-2a2  （8分）
（3）g（x）在R上的最小值为
由题意得f（x）在[a，+∞）上的最小值大于或等于g（x）在R上的最小值
当a≥0时，由1-a2≥解得 ≤a≤
这时，0≤a≤
当a＜0时，1-2a2≥解得：≤a≤
这时，≤a＜0
综上，a的取值范围为：≤a≤ （14分）