Question

已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，则下列说法
①2a-3b+1＞0；            
②a≠0时，有最小值，无最大值；
③恒成立；
④当a＞0且a≠1，b＞0时，则的取值范围为（-；
其中正确的命题是    （填上正确命题的序号）．

Answer

由已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧可得2a-3b+1＜0，结合不等式的性质可得当a＞0时，＞+，从而对①②作出判断；对于③，是看有没有极小值，据的集合即可得出；对于④，利用式子蕴含的斜率的几何意义即可解决．
【解析】
由已知（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，即2a-3b+1＜0，∴①错；
当a＞0时，由3b＞2a+1，可得＞+，∴不存在最小值，∴②错；
表示为（a，b）与（0，0）两点间的距离，
由于原点（0，0）到直线2x-3y+1=0的距离d=，
由线性规划知识可得：
＞=恒成立，∴③正确；
表示为（a，b）和（1，0）两点的斜率．
∵表示点（a，b）与点（1，0）连线的斜率，
如图，由线性规划知识可知，的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．④不正确．
故答案是：③．