Question

已知Rt△ABC两锐角A，B的正弦值，是实系数方程的两根．若数列{a_n}满足，且a₁=5．试求数列{a_n}的前n项和为T_n．

Answer

由题意可得=cosA，结合同角平分关系sin2A+cos2A=1可得，由方程的根与系数关系可求k=1或k=，经检验当k=1时，无解不合题意；当时，符合题意，代入可得，从而可得 {an-1}是等比数列，可求an，由等比数列的求和公式及分组求和的方法可求
【解析】
∵方程的两根是一个直角三角形的两锐角A、B的正弦，
令x1=sinA，x2=sinB=cosA
∵sin2A+cos2A=1
∴
∵x1+x2=k，x1x2=
∴，
即3k2-5k+2=0
∴k=1或k=．
当k=1时，原方程为，△＜0，不合题意．
当时，原方程为，x1，x2∈（0，1），符合题意．
∵，
∴，，
从而 {an-1}是等比数列，
∴Tn=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n-4．