Question

若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近．

Answer

（1）若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，即|2x-1|＜3，解绝对值不等式求出x的取值范围．
（2）由基本不等式可得a2b+ab2 ＞，，用比较法证明|a2b+ab2 -|＜||，可得a2b+ab2比a3+b3接近．
（1）【解析】
若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，
∴|2x-1|＜3，即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
故x的取值范围为 （-1，2）．
（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，，有a2b+ab2 ＞，，即．
又因为|a2b+ab2 -|-||=ab（a+b）--（a3+b3）+=ab（a+b）-（a+b）（a2+b2-ab）=-（a+b）（a-b）2＜0，
所以，|a2b+ab2 -|＜-||，即a2b+ab2比a3+b3接近．