Question

已知函数f（x）是定义域为R的不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）、f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer

（1）令a=b=0，再令a=b=1即可求得f（0）、f（1）的值；
（2）令a=b=x，a=b=-x，代入整理即可判断并证明f（x）的奇偶性．
【解析】
（1）令a=b=0，得f（0）=0，；再令a=b=1得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0     
 （2）f（x）为奇函数．
证明：∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=b=x，得：f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），①
再令a=b=-x得：f（x2）=-xf（-x）-xf（-x）=-2xf（-x），②
由①②得；2xf（x）=-2xf（-x），
∴x[f（x）+f（-x）]=0，
∵f（x）是定义域为R的不恒为0的函数，即x不恒为0，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．