Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．
（1）设AD=x（x≥0），ED=y，求用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．

Answer

（1）先根据S△ADE=S△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系．
（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值，判断出DE∥BC，且DE=．进而可得函数f（x）的解析式，根据其单调性求得函数的最大值．
解（1）在△ADE中，y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2-x•AE，①
又S△ADE=S△ABC=22=x•AE•sin60°⇒x•AE=2．②
②代入①得y2=x2+-2（y＞0），
∴y=（1≤x≤2）；
（2）如果DE是水管y=≥，
当且仅当x2=，即x=时“=”成立，故DE∥BC，且DE=．
如果DE是参观线路，记f（x）=x2+，
可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，
故f（x）max=f（1）=f（2）=5．∴ymax=．
即DE为AB中线或AC中线时，DE最长．