①y=tanx在其定义域上的图象不连续,故y=tanx在其定义域上不是单调函数;②由函数y=sin(2x+)的最小正周期为π,知函数的最小正周期是;③⇒f(x)=logtanαx在(0,+∞)内是增函数,f(x)=logtanαx在(0,+∞)内是增函数⇒k,k∈Z;的为奇函数.
【解析】
y=tanx在其定义域上的图象不连续,故①不正确;
由函数y=sin(2x+)的最小正周期为π,
知函数的最小正周期是,故②正确;
∵,tanα>1,
∴f(x)=logtanαx在(0,+∞)内是增函数,
若f(x)=logtanαx在(0,+∞)内是增函数,
则tanα>1,k,k∈Z,
故③正确;
的定义域是R,
又f(x)+f(-x)=lg(sinx+)+lg(-sinx+)=lg1=0,
即f(-x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数,所以④不正确.
故选B.