Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx．
（I）当a=-1时，若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，且AB的中点为C（x，0），求证：f′（x）＜0．

Answer

（I）将f（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤即可，根据基本不等式可求出 ；
（II）根据f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，得到，两式相减，可得，利用中点坐标公式和导数，即可证明结论．
【解析】
（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2-bx
∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）=+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立
即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤
∵x＞0，∴+2x≥2 当且仅当x=时取“=”，∴b≤2 ，
∴b的取值范围为（-∞，2 ]；
（II）证明：由已知得，
即，两式相减，得：⇒，
由f′（x）=-2ax-b及2x=x1+x2，得f′（x）=-2ax-b=
==，
令t=∈（0，1），且φ（t）=，
∵φ′（t）=，
∴φ（t）是（0，1）上的减函数，
∴φ（t）＞φ（1）=0，
又x1＜x2，
∴f'（x）＜0．