Question

某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日和生产产品件数x（x∈N^*）间的关系为P=，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）．
（Ⅰ）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．

Answer

（1）根据题中正品率和盈利情况可得到关系式y=4000••x-2000（1-）•x，整理后可得到答案．
（2）对（1）中函数进行求导数，令导函数等于0求出x的值，并求出y′＞0、y′＜0的x的范围，进而可得到答案．
【解析】
（1）y=4000••x-2000（1-）•x=3600x-
∴所求的函数关系是y=-+3600x（x∈N*，1≤x≤40）．
（Ⅱ）由上知，y′=3600-4x2，令y′=0，解得x=30．
∴当1≤x＜30时，y′＞0；当30＜x≤40时，y′＜0．
∴函数y=（x∈N*，1≤x≤40）在[1，30）上是单调递增函数，在（30，40]上是单调递减函数．
∴当x=30时，函数y（x∈N*，1≤x≤40）取最大值，最大值为×303+3600×30=72000（元）．
∴该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元