Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*
（1）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由an+1=2an-n+1可得an+1-（n+1）=2（an-n），且a1-1=2≠0，可证
（2）由（1）可求，利用分组求和，结合等差数列与等比数列 的求和公式可求
（1）证明：∵an+1=2an-n+1
∴an+1-（n+1）=2（an-n），又a1-1=2≠0
∴数列{an-n}是首项为1，公比为2的等比数列（5分）
（2）【解析】
由（1）可得即（9分）
∴
=（1+2+…+2n-1）+（1+2+…+n）
=（13）