Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer

（1）证明PA⊥BD，只需证明BD⊥平面PAD，即需证明BD⊥AD，BD⊥PD；
（2）建立空间直角坐标系，表示出点与向量，求出设平面PAB的法向量=，平面PBC的法向量=（0，-1，），利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-PB-C的余弦值．
（1）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得=
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD             
又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PD
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD
∵PA⊂平面PAD
∴PA⊥BD （6分）
（2）【解析】
如图，以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A（1，0，0），，，P（0，0，1）．
∴，，
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即 
因此可取=
设平面PBC的法向量为=（x′，y′，z′），则 ，即
可取=（0，-1，），
∴
故二面角A-PB-C的余弦值为． （12分）