Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于a，D、E分别是AC₁、BB₁的中点，
（1）求证：DE是异面直线AC₁与BB₁的公垂线段，并求其长度；
（2）求二面角E-AC₁-C的大小；
（3）求点C₁到平面AEC的距离．

Answer

（1）证明DE⊥AC1，ED⊥BB1，即可得到DE为AC1和BB1的公垂线，
（2）利用DE⊥平面AC1，可得平面AEC1⊥平面AC1，从而可求二面角E-AC1-C的平面角；
（3）用体积法，根据，可求点C1到平面AEC的距离．
（1）证明：过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1、CC1于F、G，
则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1，
∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG．
连AE，C1E
∵D、E分别为AC1、BB1的中点，
∴AE=EC1，DE⊥AC1．
又∵面EFG⊥BB1，
∴ED⊥BB1，故DE为AC1和BB1的公垂线，
∵，∴DE=a．
（2）由（1）可得DE⊥平面AC1，∴平面AEC1⊥平面AC1，∴二面角E-AC1-C为90°．
（3）设点C1到平面ACE的距离为h
在△AEC中，AE=CE=，AC=a，∴
∵，
∴
∴
∴点C1到平面ACE的距离为a．