Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且S₁=1，S₃=7．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，试比较与S_n的大小．

Answer

（1）由Sn+1=2λSn+1，得S2=2λS1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1=7，由此可求出λ=1．
（2）由题意可知Sn+1=2Sn+1，从而数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，所以Sn=2n-1，由此可求数列{an}的通项公式；
（3）错位相消法求出数列{nan}的前n项和为Tn，再作差比较与Sn的大小．
【解析】
（1）∵S1=1，S3=7
∴由Sn+1=2λSn+1，得S2=2λS1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1=7
∴λ=1或λ=-
∵λ＞0，∴λ=1．（5分）
（2）∵λ=1
∴Sn+1=2Sn+1
整理得Sn+1+1=2（Sn+1），
∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn+1=2•2n-1，可得Sn=2n-1，
∴an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），
∵当n=1时，a1=1满足an=2n-1，
∴an=2n-1．（10分）
（3）①
②
①-②得：．
则，…（11分）
∴…（12分）
∴当n=1时，．
当n=2时，．
即当n=1或n=2时，．…（13分）
当n≥3时，．…（14分）