Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面正三角形的边长是2，D是CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角是45°．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求点C到平面ABD的距离．

Answer

（1）由几何体的结构特征与题中条件求出侧棱的长度，进而建立坐标系分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出二面角的平面角．
（2）由（1）得平面ABD的法向量，再求出平面的一条斜线所在的向量，求出在法向量上的射影即可得到答案．
【解析】
（1）取BC的中点为O，连接OD，由正三棱柱的结构特征得OA⊥平面BCC1B1，且OA=．
所以∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C所成的角，即∠ADO=45°．
所以OD=．
所以侧棱的长为．
如图建立空间直角坐标系，则，B（-1，0，0），C（1，0，0），
设是平面ABD的一个法向量，
则由得
而是面BCD的一个法向量
∴．
而所求二面角为锐角，即二面角A-BD-C的大小为
（2）∵
∴点C到面ABD的距离为