Question

已知数列{a_n}满足
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）若数列{b_n}满足求数列{{b_n}的通项公式；
（3）若，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由数列的递推公式求数列的通项公式，根据等比数列的定义，即可证明数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由条件可得2（b1+2b2+…+nbn）=n2+2n，再写一式，两式相减，即可得结论；
（3）根据（1）中证明的结论，求出数列{an}的通项公式，从而求得数列{cn}的通项公式，再求出其前n项和．
（1）证明：∵an+1=2an+1
∴an+1+1=2（an+1）
∵a1=1．∴a1+1=1+1=2
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；
（2）【解析】
∵数列{bn}满足
∴
∴2（b1+2b2+…+nbn）=n2+2n①
∴2[b1+2b2+…+（n-1）bn]=（n-1）2+2（n-1）（n≥2）②
①-②，可得2nbn=2n+1
∴，n=1也满足
∴数列{{bn}的通项公式为；
（3）【解析】
由（1）知an=2n-1，
故=
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn=（1- ）+（- ）+…+（）=．