Question

函数y=2x³+1的图象与函数y=3x²-b的图象有三个不相同的交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）

Answer

设y=f（x）=2x3+1，y=g（x）=3x2-b，根据题意得方程f（x）=g（x）有三个不相等的实数根，进而转化为b=-2x3+3x2-1，对右边对应的函数单调性的讨论，记
F（x）=-2x3+3x2-1然后利用导数工具研究其单调性，得到它的极大值与极小值，最后根据这个极值建立关于字母b的不等式组，解之可得实数b的取值范围．
【解析】
设y=f（x）=2x3+1，y=g（x）=3x2-b
∵y=2x3+1的图象与y=3x2-b的图象有三个不相同的交点，
∴方程f（x）=g（x）有三个不相等的实数根
即：2x3+1=3x2-b⇒b=-2x3+3x2-1
记F（x）=-2x3+3x2-1，得F′（x）=-6x（x-1），列出下表：

所以方程f（x）=g（x）有三个不相等的实数根的充要条件是
函数F（x）的极大值大于b，而极小值小于b
∴⇒b∈（-1，0）
故选B