Question

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个实数根
D．有无数个不同的实数根

Answer

由题意设g（x）=f（x）-x，已知区间[a，b]判断两个端点与0的关系，根据根的存在定理进行求解．
【解析】
设g（x）=f（x）-x．
g（a）=f（a）-a≥0，
g（b）=f（b）-b≤0，
所以g（x）=0在[a，b]有实数根，
若有两个不同的实数根x，y，
则f（x）=x，f（y）=y，得f（x）-f（y）=x-y，
这与已知条件|f（x）-f（y）|＜|x-y|相矛盾．
故选B．