Question

设函数f（x）=x²-2a|x|（a＞0）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；
（2）若方程f（x）=-1有解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，
（2）只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2-2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤-1解答此题．
【解析】
（1）由题意，函数f（x）=x2-2a|x|（a＞0）的定义域D=R，对于任意的x∈D，恒有f（-x）=x2-2ax=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．（3分）
当x＞0时，函数f（x）=x2-2ax（a＞0）
且[a，+∞）⊂（0，+∞），所以此时函数f（x）的单调递增区间是[a，+∞）（3分）
（2）由（1）得函数f（x）是偶函数，所以我们只要求出x＞0时f（x）的最小值即可，当x＞0时，f（x）=（x-a）2-a2（2分）所以f（x）min=-a2（2分）
只须-a2≤-1，即a≥1或a≤-（12分）
由于a＞0，所以a≥1时，方程f（x）=-1有解．（2分）