Question

如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=，点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把△ADF和△EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P．
（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCF；
（Ⅱ） 设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明平面PCE⊥平面PCF，只需证明PE⊥平面PFC，即证明PE⊥PF； 
 （Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用sinθ=|cos|可求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：∵PE=PF=1，EF=
∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PFC
∵PE⊂平面PEC
∴平面PCE⊥平面PCF；   
 （Ⅱ）【解析】
如图，建立坐标系，则
A（，-1，0），E（，0，0），N（0，，0），P（0，0，），C（，1，0），F（，0，0），M（，，）
，，
∵，
∴，
∴是平面PAE的法向量，
设MN与平面PAE 所成的角为θ
∴sinθ=|cos|==