求导函数,判断函数为单调增函数,根据可等射函数的定义,可得m,n是方程的两个根,构建函数g(x)=,则函数g(x)=有两个零点,分类讨论,即可确定a的取值范围.
【解析】
求导函数,可得f′(x)=ax>0,故函数为单调增函数
∵存在实数m,n,当定义域为[m,n]时,值域为[m,n].
∴f(m)=m,f(n)=n
∴m,n是方程的两个根
构建函数g(x)=,则函数g(x)=有两个零点,g′(x)=ax-1
①0<a<1时,函数的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为(0,+∞)
∵g(0)>0,∴函数有两个零点,故满足题意;
②a>1时,函数的单调减区间为(-∞,0),单调增区间为(0,+∞)
要使函数有两个零点,则g(0)<0,∴,∴a<2
∴1<a<2
综上可知,a的取值范围是(0,1)∪(1,2)
故答案为:(0,1)∪(1,2).