Question

设函数f（x）=kx²-kx-6+k．
（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，变更主元k（x2-x+1）-6=g（k），可得，解此不等式组即可求得结果；
（2）法1：要使f（x）=k（x2-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立，则只须在x∈[1，2]上恒成立；求得的最小值即可；
法2：配方，分类讨论∴或或，即可求得结果．
【解析】
（1）设f（x）=k（x2-x+1）-6=g（k），
则g（k）是关于k的一次函数，且一次项系数为x2-x+1…（2分）
法1、∵∴g（k）在[-2，2]上递增．…（4分）
∴g（k）＜0⇔g（2）=2（x2-x+1）-6＜0∴解得x的取值范围为：-1＜x＜2…（6分）
法2、依题只须∴-1＜x＜2
（2）法1、要使f（x）=k（x2-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
则只须在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）
而当x∈[1，2]时：…（10分）
∴k＜2…（12分）
法2、∵在x∈[1，2]上恒成立
∴或或
综上解得：k＜2