Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：．

Answer

（1）由题设条件知．，bn=2-2Sn，bn-bn-1=-2（Sn-Sn-1）=-2bn．，由此可求出数列{bn}的通项公式．
（2）数列{an}为等差数列，公差，可得an=3n-1．从而，由此能证明数列{cn}的前n项和．
【解析】
（1）由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1，又S1=b1，
所以．b2=2-2（b1+b2），则．．
当n≥2时，由bn=2-2Sn，可得bn-bn-1=-2（Sn-Sn-1）=-2bn．即．．
所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，于是．
（2）数列{an}为等差数列，公差，可得an=3n-1．
从而cn=an•bn=2（3n-1）•
∴=．