Question

已知椭圆的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．

Answer

（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
【解析】
（1）直线AB方程为bx-ay-ab=0，
依题意可得：，
解得：a2=3，b=1，
∴椭圆的方程为．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0…①，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则
而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），
当且仅当CE⊥DE时，
则y1x1+y2x2+1=-1，
即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x1）+5=0…③
将②代入③整理得k=，
经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．