Question

某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品，但需要经过环保部门审批同意后方可投入生产．已知该生产线连续生产n个月的累积产量为吨，但如果月产量超过96吨，就会给周边环境造成污染，环保部门将责令停产一段时间，再进入下一个生产周期．
（Ⅰ）请你代表环保部门给该生产线拟定一个最长的生产周期；
（Ⅱ）按环保管理条例，该生产线每月需要缴纳a万元的环保费．已知这种化工产品每吨的售价为0.6万元，第n个月的生产成本为万元．当环保费用a在什么范围内时，该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利？

Answer

（1）先化简得到第n个月的产量函数，再令
（2）建立利润函数，则F（n）＞0恒成立，求得a的范围．
【解析】
（Ⅰ）设第n个月的产量为an吨，则a1=f（1）=1．（1分）
当n≥2时，an=f（n）-f（n-1）=3n2-2n．（3分）
又a1=1满足上式，所以an=3n2-2n（n∈N*）．（4分）
令3n2-2n-96≤0，得．又n∈N*，则n=1，2，3，4，5，6．
故最长生产周期是6个月．（6分）
（Ⅱ）由，得．（8分）
设，据题意，当n=1，2，3，4，5，6时，a＜φ（n）恒成立，则a＜φ（n）min．
因为，则当n=2时，．（12分）
故当环保费用时，该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利．（13分）