Question

已知圆C经过（-2，0），（2，0）两点，且圆心在直线y=x．
（1）求圆C的方程；
（2）过（-1，1）的直线l与圆C交于不同两点A，B，且满足（O为坐标原点）的点M也在圆C上，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ） 可设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，把（-2，0），（2，0）两点代入圆的方程，结合圆心在直线y=x可求a，b，r
（Ⅱ）若直线l斜率存在，设直线l的方程为：y-1=k（x+1），联立方程，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，由y1y2=[k（x1+1）+1][k（x2+1）+1]，代入  可求M，再由点M在圆C上，代入可求k；若直线l斜率不存在，可求直线方程，从而可求
【解析】
（Ⅰ） 设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
由题有，解得：a=b=0，r=2
∴圆C的方程是 x2+y2=4
（Ⅱ）若直线l斜率存在，设直线l的方程为：y-1=k（x+1）
可得，（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k-3=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）
则，
∴y1y2=[k（x1+1）+1][k（x2+1）+1]
=
=
由  
有 
∵点M在圆C上，
∴
又 代入上式化简得：x1x2+y1y2=0
∴
解得k=1
∴直线l的方程是 x-y+2=0
若直线l斜率不存在，则
但M不在圆C上，不合题意．
综上知，直线l的方程是 x-y+2=0